求证n维向量|a·b|≤|a|·|b|

直接利用柯西不等式,设a=(a1,a2,...,an),b=(b1,b2,...,bn),由柯西不等式得
(|a1|*|b1|+|a2|*|b2|+...+|an|*|bn|)^2<=(|a1|^2+|a2|^2+...+|an|^2)(|b1|^2+|b2|^2+...+|bn|^2)
即|a1|*|b1|+|a2|*|b2|+...+|an|*|bn|<=√(a1^2+a2^2+...+an^2)√(b1^2+b2^2+...+bn^2)
利用绝对值的性质即得|a1*b1+a1*b2+...+an*bn|<=|a1*b1|+|a2*b2|+...+|an*bn|
<=|a1|*|b1|+|a2|*|b2|+...+|an|*|bn|
<=√(a1^2+a2^2+...+an^2)√(b1^2+b2^2+...+bn^2)
即|a·b|≤|a|·|b|
注意上式左边表示的内积的绝对值,右边是两向量的模的乘积.

设n维向量a=a1j1+a2j2+a3j3+...+anjn
b=b1j1+b2j2+b3j3+...+bnjn

则：
|a·b|^2=(a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn)^2

(|a|·|b|)^2=|a|^2*|b|^2=(a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2)*(b1^2+b2^2+b3^2+...+bn^2)

由柯西不等式，即得：
|a·b|^2≤(|a|·|b|)^2

所以：
|a·b|≤|a|·|b|，得证。

|a·b|=根号下（a·b）^2*cosα^2
|a|·|b|=根号下（a·b）^2
因为-1≤cosα≤1
所以0≤cosα^2≤1
所以根号下（a·b）^2*cosα^2≤（a·b）^2
所以|a·b|≤|a|·|b|